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Jun 13, 2019
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摸鱼时期在大物书上看到了一个略过不讲的部分，其中蕴涵了很简洁优美的结论，个人觉得可以吊打这学期过学的所有定理：
一个叫做诺特的数学家发现，物理学里的连续对称性和守恒定律一一对应。
在此要对“对称”这个词作一下解释：对于某种变换不变，就是对称。我们日常用语里的对称更多的指的是镜像对称，但“...
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摸鱼时期在大物书上看到了一个略过不讲的部分，其中蕴涵了很简洁优美的结论，个人觉得可以吊打这学期过学的所有定理：
一个叫做诺特的数学家发现，物理学里的连续对称性和守恒定律一一对应。
在此要对“对称”这个词作一下解释：对于某种变换不变，就是对称。我们日常用语里的对称更多的指的是镜像对称，但“对称”不止局限于此。比如正方形对“旋转90度/旋转180度/旋转270度”对称，圆形对于旋转任意度数的变换都对称，它们对于平移变换也都对称。
那么同理，物理定律对于一种变换不变，也可以说物理定律对于这种变换是“不变的”。比如我们在杭州自由落体定律成立，在上海也成立，自由落体定律就关于空间平移对称。如果我们朝着西边平抛和朝着北边平抛都有一样的结果（忽略地球自转本身的一些影响），那么平抛运动规律就对于空间旋转对称。如果今天我做一个实验，明天，明年做也有一样的结果，那么这个定律就对于时间平移对称。
所以说，“对称性”实际上代表的是一种“不变性”，也就是物理定律的绝对性质。
（个人理解：像相对论中物理定律对于洛伦兹变换保持不变，可以导出“物理规律在任何惯性系中是相同的”，所以从某种意义上说，相对论并不是表示“一切都是相对的”之理论，相反，它表现了某种“绝对”。）
在经典力学中，对称性和守恒定律的对应关系是这样的：
空间平移不变性——对应动量守恒定律
空间旋转不变性——对应角动量守恒定律
时间平移不变性——对应能量守恒定律
当时在书上看到这一段，觉得太绝妙了。动量守恒和牛顿三大定律可以互推，算是对牛顿三大定律对高度总结（？），角动量、能量守恒定律也是很多力学规律在更高层次上的统一，但没想到在此之上还有更高本质更深刻的内涵——物理定律对称性，而这“更本质”的东西贯穿了我们学物理的所有具体的“唯象定律”。
再往深了走，这种物理定律对于空间、时间的不变性，背后更深刻的内涵是时间与空间本身的性质，比如平移不变性代表了时间同质性和空间同质性，旋转不变性背后是各向同性。如果时间、空间不是均匀的，那么这种对称性（或者说不变性）就不能够成立。
不仅如此，还有更多的对称性，用表格总结如下。第一张图更接近我们物理书上的图，第二张图是wiki上的。
在此说明一下，诺特定理描述的是“连续对称性”，像时间空间平移旋转是连续的，但是宇称（镜像）这种只有左右两个值的对称，以及量子里的一些其他对称，实际上是离散的。但是在量子力学中宇称这种对称性依然有守恒定律与之对应。（不考虑李振道杨振宁发现的弱相互作用中宇称不守恒）。另外听说，为了保证这种对称性，导致我们引出了一些粒子的“场”。比如电场就是为了解决电荷相位不变问题？也许这个和“规范不变性“规范对称性”“标准模型”“规范场论”之类的有关，不过这只是一种语文的、直觉上的联想，事实上这些只是自己听到过而且不知道是什么意思的词罢了。考虑到自己还没有相关数学基础，就先不民科了。
严格来说，诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律成立。诺特定理的深刻含义好像和分析力学里面的变分法呀最小作用量啊拉格朗日什么的有关，希望以后有机会学习。也只有学习了诺特定理的基础和它是如何推导出来，才能进一步地思考吧。
另外：《费恩曼物理学讲义》第一卷的第11章（矢量）与第52章（物理定律的对称性）有关于物理定律对称性更多的描述。在16章（相对论）和20章（转动）中也有提到一些。
-------末尾要补充的：对称性与群------
前面说了，对称性就是对于某种变换的不变性。描述这种对称关系的抽象，就是群。几个看起来不一样的东西，但是它们有一样的对称性，所以可以用同一种群来表示（这样一来，终于知道离散数学里的“代数系统”一章是干啥用的了，大学对我来说果然是助于摸鱼的通识教育呀）比如圆形和正方形还有xx都符合关于90度，180，270度旋转不变，方和圆看似是不一样的东西，如何把他们的对称规律抽象出来一起研究呢？
【
wiki上对群的定义是这样的，满足四条群公理：
1.封闭性：
对于所有G中a, b，运算a·b的结果也在G中。
2.结合律：
对于所有G中的a, b和c，等式 (a·b)·c = a· (b·c)成立。
3.单位元：
存在G中的一个元素e，使得对于所有G中的元素a，总有等式e·a = a·e = a 成立。
4.逆元：
对于每个G中的a，存在G中的一个元素b使得总有a·b = b·a = e，此处e为单位元。
而有一种群叫做“对称群”
（想办法解释一下）比如举个旋转和平移的群的例子。。。。
圆形可以说和物理定律同构吗？（在某种意义上）
------修改和可以放入的东西------
所以我们说牛顿定律具有三维空间中的平移对称性和旋转对称性，对应的变换称为伽利略变换。
其实我觉得，相对论和牛顿定律并没有本质区别，它只是一个具有不同的对称性的理论。相对论将牛顿定律中三维空间中的伽利略变换推广到了四维时空中，这种新的变换称为洛伦兹变换，由于这个对称性的改变而导致了一系列新的物理定律。
洛伦兹变换是时空中的旋转
还有洛伦兹群，见下